平均分散でマハラノビス距離を求める

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

平均と共分散行列がわかっているときの分布同士の距離をマハラノビス距離によって求める.
ー 条件 ー
  • 共分散行列が同じ確率分布に従うなら、分布間距離を求められる
ー 効果 ー
  • 点と分布との距離を求めることもできる
ーポイントー
  • 共分散行列が単位行列なら通常のユークリッド距離と一致

解  説

平均と共分散行列がわかっている分布同士では、共分散行列が共通なら分布間の距離を定義することができます。
分布と分布の計算は、 両方の共通な共分散行列をΣΣとして、 各分布の平均ベクトルをxx→yy→としたときに、 分布間の距離は、以下のように表される
分布と分布との距離
$$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\sqrt {({\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}\Sigma ^{{-1}}({\vec {x}}-{\vec {y}})}}\,$$
分布と分布との距離の計算
また、点と分布との距離を求めることもでき、その場合は 通常のユークリッド距離と異なり、等高線を描いたように方向によって距離の重みが異なった距離が計算されます。
点と分布の距離
分布の平均を $${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{n})^{T}} $$ として、 分布の共分散行列を $$ \Sigma $$ としたときに、 点\(x\)と距離は、 $$D_{M}(x)={\sqrt {(x-\mu )^{T}\Sigma ^{{-1}}(x-\mu )}}\,$$
点と分布の距離の計算
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