制限ない二次関数最大最小を求めたい

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

制限の特にない二次関数の最大最小を求めたいときに必要な数学の知識や技術についてまとめたページになります.中学生レベルから高校生レベルぐらいの知識になります.
ー 条件 ー
  • 入力は1変数の二次関数
ー 効果 ー
  • 出力は最大値または最小値になります

解  説

xの値にもyの値にも制限がない時に二次関数の最大最小を求める方法についてまとめます. xの二次関数特徴 ・二次関数の場合は先頭のxの二次の項の係数からどちら側に凸かわかるため、最大値がもとまるか、最小値がもとまるか一目瞭然です. 係数が正なら最小値が、負なら最大値が求まります. ・二次関数の最大値または最小値を求める時に、平方完成によって求めることができます.これは二乗したものは虚数でない限り0以上であることを使って、最小値を求めています.平方完成をすることで最小値をとるときのxの値も最小値も両方同時に求まります. ・関数が凸な関数なので、最大値か最小値は一つしかなく、局所最小値や局所最大値になることはありません。 ・関数が簡単なため容易に微分でも最小値または最大値を求めることが可能です.
xの二次関数の最大値、最小値について

1.平方完成による最小値

平方完成の式(Wikipediaより)
上の式のように、xの2次式が与えられている時、右のような形にすることを平方完成と言います.右側の一つ目の項はx=hのときに0になってその時に式の値はkになります.(x-h)^2は0より小さくならないため、一番小さい時にkすなわち最小値がkということがわかります.
平方完成について

2.微分による最小値

関数の極値では関数の傾きが0になることを利用して、 関数の微分が0になるという方程式を解いて極値を求めます. 今回の二次関数においても同様の手段で最小値を求めることができます.
二次関数の微分について
$$f(x) = y = ax^2 + bx + c$$ $$f'(x) = y' = 2ax + b = 0$$ $$x = -\frac{ b }{ 2a }$$
二次関数をf(x)とした時、 その微分f'(x)は次式のように表されます. その式が0になる時が極値となり平方完成の時にa=1とした解と一致します.
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