絶対値を含む式を解き方で工夫したい

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

絶対値を含む式を解き方で工夫する方法についてまとめています.絶対値を解くときは基本的に場合分けを行い、その場合分けの数だけ解くのが基本的な方針になります.
ー 条件 ー
  • 絶対値を含む式
ーポイントー
  • 絶対値の中の値が0以上又は0以下になるかで分岐して解く
  • 条件分岐したときは絶対値の中の正負を適宜反転する

解  説

1.場合わけをして解きやすくする

絶対値を含む式を解くときには条件分けをして解くことが基本的な方針になります. では以下のような式を例にして考えます.
絶対値を含む式を解き方で工夫したい
$$y = 2| x |+1 $$
左のような絶対値を含む式を考えます.
上記のような絶対値を含む場合、絶対値の中のxが0より大きいか小さいかで式の形が変わります.そこで0より大きい場合と0より小さい場合で下のように場合わけを行います.
y=2|x|+1の絶対値をはずす
$$y = 2x + 1 (x\geqq 0)$$
xが0以上の場合。 絶対値の中は常に正なので、 |x|をxに置き換えて問題ありません
$$y = -2x + 1 (x\lt 0)$$
xが0より小さい場合。絶対値の中は常に負なので、|x|を-xに置き換えて問題ありません. 絶対値は常に負の数に-1を掛けた値にするため上記の置き換えができます.
上のような場合わけをすることで式を解きやすくすることができました。 xの値の範囲が異なるのが注意ですが、それにさえ気をつければ 他の式との交わる点を求めたり積分をしたりが可能になります.
場合わけをして解きやすくするまとめ

2.二乗して解きやすくする

また別の方針として絶対値を含む式を二乗することによっても解きやすくなります.
絶対値を含む式を二乗して解きやすくする
$$|x|^2 = x^2$$
絶対値の二乗を行うと絶対値をはずすことができます.
上の性質を使えば以下のような問題を解きやすくしてくれます.
二乗をするとできること
$$|x+5| = 10$$ $$|x+5|^2 = 100$$ $$(x+5)^2 = 100$$ $$x^2 + 10x - 75 = 0$$ $$ (x + 15) (x-5) = 0$$ $$∴x=-15,5$$
絶対値を二乗することで解きやすくする. 最後に得られた答えを最初の式に入れれば満たしていることがわかります.
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