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Jaccard類似度でベクトル間類似度を求める

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

Jaccard類似度を使ってベクトル間距離を求める方法について紹介します.Jaccard類似度は集合の類似度として使用されることが多いが、ベクトルに対しても使用できます.通常のJaccard類似度は全てのベクトルの要素が0または1である必要がある.
ー 条件 ー
  • 二つのベクトルが入力
  • 要素が1または0ならJaccard類似度
  • 要素が1または0と限らないなら一般化Jaccard類似度
ー 効果 ー
  • 二つのベクトルの類似度を求める

解  説

Jaccard類似度でベクトル間距離を求める方法についてまとめます. Jaccard類似度はそもそも集合の類似度で定義されていた技術です.
Jaccard類似度でベクトル間距離を求める
右のページに集合の類似度の定義が記述されています.
集合内同一要素の数で類似度を測りたい

1.ベクトルの要素が0または1で構成されてる

ベクトルの要素が0または1で構成されている場合は、通常のJaccard類似度と同様の定義で計算することができます.
Jaccard類似度によるベクトル類似度の計算
$$Jaccard = \frac{|A\cap B|}{|A \cup B|}$$
Jaccard類似度の定義
例えば\(\overrightarrow{ a }=(0,1,0)\)と\(\overrightarrow{ b } = (1,1,0)\)があるとき、以下のようになる. $$Jaccard = \frac{|A\cap B|}{|A \cup B|} \\ = \frac{1}{2}$$
Jaccard類似度の計算. 分母はベクトルaかベクトルbで1になっている数. 分子はベクトルaでもベクトルbでも1担っている数.

2.ベクトルの要素が連続値の場合

ベクトルの各要素の値が連続値の場合はそのままJaccard類似度を適用することはできないため、一般化Jaccard類似度を計算する必要があります.
一般化Jaccard類似度の計算について
$$Generalized Jaccard = \frac{\sum_{i}^n min(a_i, b_i)}{\sum_{i}^n max(a_i, b_i)}$$
分子が各要素の値の最小値の和で、分母が各要素の値の最大値の和. 完全に一致していれば1になります.隔たりが大きいほど値は小さくなります.
例えば\(\overrightarrow{ a }=(0.2,0.6,0.3)\)と\(\overrightarrow{ b } = (1.0,1.2,0.1)\)があるとき、以下のようになる. $$Jaccard = \frac{\sum_{i}^n min(a_i, b_i)}{\sum_{i}^n max(a_i, b_i)} \\ = \frac{(0.2+0.6+0.1)}{(1.0+1.2+0.3)} \\ = \frac{9}{25}$$
一般化Jaccard特徴量の計算
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知識: 集合内同一要素の数で類似度を測りたい
集合内に含まれる同一の要素の数が他の要素と比べてどれくらい占めているかで集合の類似度を測る方法についてまとめます.