三次方程式を公式で解きたい

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

三次方程式の解を公式を使って求める方法についてまとめます.カルダノの公式を使用することで解を求めることができます.
ー 条件 ー
  • 三次の多項式
ー 効果 ー
  • カルダノの公式によって三次の多項式の解
ーポイントー
  • 得られる解は複素数の解も含む.そのとき3次関数はy=0で1点でしか交わっていない.

解  説

三次方程式の解はカルダノの公式によって求められることが知られている.
三次方程式を公式で解きたい
カルダノの公式に関する詳しい導出は左のリンク先を参照してください.
公式によって複素数も含めて3つの解を得ることができる. 3次関数が必ず1点以上でy = 0と交わることを考えれば当然だが、 この公式では必ず一つ実数の解を得ることができる. 逆にy=0で1つしか交わっていないとき、残り二つの解は複素数となり、 y=0で2点なら重解を含む2つの解と3点なら3点の実数の解を得られることになる.
3次関数の解の特徴
$$ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 < 0$$
3つの解を持つ判別式
上記の式は3つの実数解を持つための判別式. 二次関数のときの判別式は平方根の中が正になるb^2-4ac > 0であったが、 3次関数のときの判別式は平方根の中が負になることで3つの実数解が持つことが保障される.
判別式について
$$ y = \omega^k\sqrt[ 3 ]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{((\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3)} } + \omega^{3-k}\sqrt[ 3 ]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{((\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3) }}$$
カルダノの公式から導かれた三次方程式の解. pとqは元の方程式をスケールして、平行移動してx^3 +px+q = 0の形にした時の値. wは1の立方根の解. kは0,1,2のどれか.
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