点が線上にあるか判定したい

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

ある点が直線上にあるかどうかを判定する方法についてまとめたページになります.シンプルな方法で判定することができます.
ー 条件 ー
  • 直線と点
  • 直線はベクトルでも座標でもよい
ー 効果 ー
  • 直線上に点があるかどうかを判定

解  説

点が線上にあるか判定するのはとてもシンプルな方法で実現することが可能です.
点が線上にあるか判定したい

1.直線の方程式がわかっているとき

直線の方程式が分かっているときはとても容易に判定することができます. y=f(x)で書かれる形では点のx座標をxに値として入れたときにyが点のy座標と一致するかを確認すればよいです. 方程式を満たすということはその直線状の点であることがわかります.方程式はその直線状にあるときに満たす座標の式を表しているため、点が満たしているならばその点は直線状にあることになります.
直線の方程式がわかっているとき
$$ y = ax+b $$
y=ax+bの方程式などでも 点のy座標がa*(点のx座標)+bを満たしていればそれは線上にあることになります.

2.直線を通る二つの点が分かっているとき

二点が分かっているとき方程式を求めて先のような判定を行っても構いませんが、 ここではベクトルによる判定を紹介します. 二点の点A,Bが与えられて、判定したい点をPとすると、 もし直線AB上に点Pがあるなら、ベクトルAPとベクトルABは並行. それらが平行になるということはベクトルAPとベクトルABの内積は0になるので、 それで判定することができます.
直線を通る二つの点がわかっているとき
$$ InnerProduct = \overrightarrow{ AP } \cdot \overrightarrow{ AB } = 0$$
もし直線状にあるなら二つのベクトルのなす角は0になるため、内積も0になる
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