逆三角関数のArcTanの値が欲しい

逆三角関数のArcTanの近似値が欲しいときの算出方法について紹介します. 以下3通りを紹介します. ・テーラー展開 ・連分数展開 ・他の三角関数から算出

$$arctan(x)=x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5}- \frac{x^7}{7} \dots$$

級数の項の数を増やすほど精度は増していくので、プログラムで記述する場合は精度とのバーターとなる. |x|＜1とする.

実際の計算上では上記をより高速化した式変形として以下のような形もある.オイラーによって発見された.

$$arctan(x) = \frac{x}{1+x^2 }\sum_{n=0}^\infty \prod_{ k = 0 }^n \frac{2kx^2}{(2k+1)(1+x^2)}$$

$$arctan(x) = \frac{x}{1+\frac{x^2}{3+\frac{4x^2}{5+\frac{9x^2}{7 +\dots}}}}$$

テーラー展開ではんく上記のような連分数展開によっても求めることが可能

他のarcsinやarccos等が分かっているのであれば、そこからarctanを算出することもできる.以下のような等式を用いて計算すればよい

$$arcsin(x) = arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})$$ $$\frac{\pi}{2} -arccos(x)= arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})$$