逆三角関数のArcTanの値が欲しい

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

逆三角関数のArcTanの値を計算する方法について紹介します.テーラー展開された場合の式と連分数展開したときの式を紹介します.
ー 条件 ー
  • 入力は1つの数値
ー 効果 ー
  • 入力に対するArcTanの値
ーポイントー
  • テーラー展開または連分数で計算
  • 他の三角関数の値からも求められる

解  説

逆三角関数のArcTanの近似値が欲しいときの算出方法について紹介します. 以下3通りを紹介します. ・テーラー展開 ・連分数展開 ・他の三角関数から算出
逆三角関数のArcTanの値が欲しい

1.テーラー展開

$$arctan(x)=x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5}- \frac{x^7}{7} \dots $$
arctanの級数展開
級数の項の数を増やすほど精度は増していくので、プログラムで記述する場合は精度とのバーターとなる. |x|<1とする.
arctanのテーラー展開補足.
実際の計算上では上記をより高速化した式変形として以下のような形もある.オイラーによって発見された.
Arctanの効率よく計算できる展開
$$arctan(x) = \frac{x}{1+x^2 }\sum_{n=0}^\infty \prod_{ k = 0 }^n \frac{2kx^2}{(2k+1)(1+x^2)}$$$$$$
より効率よく計算できる級数展開

2.連分数展開

$$arctan(x) = \frac{x}{1+\frac{x^2}{3+\frac{4x^2}{5+\frac{9x^2}{7 +\dots}}}}$$
arctan(x)の連分数展開
テーラー展開ではんく上記のような連分数展開によっても求めることが可能
連分数展開

3.他の三角関数より算出

他のarcsinやarccos等が分かっているのであれば、そこからarctanを算出することもできる.以下のような等式を用いて計算すればよい
arctan(x)を他の三角関数から算出
$$arcsin(x) = arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})$$ $$\frac{\pi}{2} -arccos(x)= arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})$$
arctanと他の三角関数の関係
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