リヤプノフの安定判別法

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この章を学ぶ前に必要な知識
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要約

概要

リヤプノフの安定判別法を用いてシステムの解析が難しい場合でも、システムの状態の安定性を評価することができます.ここでの安定性はもちろんリヤプノフの意味での安定性を指します.解析的にシステムの解を求めて安定性を評価する方法をリヤプノフの第1法(Lyapunov's first method)と呼び、ここで紹介するようなエネルギー関数の考察によって安定性の解析を行うことを直接法、リヤプノフの第2法(Lyapunov's second method)と呼ぶ.
ー 条件 ー
  • V(t,x)はtでもxでも微分可能
ー 効果 ー
  • V(t,x)がなくとも安定している可能性はある.保証はない.
  • V(t,x)が存在すれば安定していると言える十分条件
  • V(t,x)は平衡点回りで局所的に正値関数で、Vの微分が原点で0それ以外で0以下なら安定
  • V(t,x)は平衡点回りで局所的に正値関数で、Vの微分が原点で0それ以外で0未満なら漸近安定
  • V(t,x)はどこでも正値関数で、Vの微分が原点で0それ以外で0未満なら大域的漸近安定

解  説

リヤプノフの安定判別法は、リヤプノフの意味での安定性を判定する手法です. 手法は、 ・リヤプノフの第1法 ・リヤプノフの第2法/直接法 の二通りがあります.ここでは後者の方を用います.前者はシステムの解を得て解析する手法になります. このリヤプノフの安定判別法を用いることで得られる結果は十分条件であるため、安定であると言われた場合、システムは安定であると判定できる.しかし安定ではないと言われた場合にシステムが安定かどうかは確認する必要がある.
リヤプノフの安定判別法
リヤプノフの安定判定まとめ
上記の図のように安定判定を行う. このとき局所的というのは「平衡点の近傍で」という意味. 安定 V(x)が局所的正値関数, V'(x)が局所的準負値関数 $$V(0) = 0,V(x) >0 $$ $$\dot{V}(0) = 0,\dot{V}(x) \leqq 0 $$ 漸近安定 V(x)が局所的正値関数, V'(x)が局所的負値関数 $$V(0) = 0,V(x) >0 $$ $$\dot{V}(0) = 0,\dot{V}(x) \lt 0 $$ 大域的漸近安定 V(x)が正値関数, V'(x)が負値関数 $$V(0) = 0,V(x) >0 $$ $$\dot{V}(0) = 0,\dot{V}(x) \lt 0 $$ 一様安定 V(x)が局所的正値関数で増加関数, V'(x)が局所準負値関数 $$V(0) = 0,V(x) >0 $$ $$\dot{V}(0) = 0,\dot{V}(x) \leqq 0 $$
安定判定について
$$V(x) = \frac{x_1^2 + x_2^2}{2}$$ $$\dot{x_1} = x_2 $$ $$\dot{x_2} = -x_2-x_1 $$ のような場合、まず いかなるxに対しても\(V(x)>0\)のためこの関数は正定値関数となっている. また $$\dot{V}(x) = \frac{2\dot{x_1}x_1+2\dot{x_1}x_1}{2} = -x_2^2 \leqq 0$$ とかけるため\(\dot{V}(x)\)は安定と言える
リヤプノフの安定判別法の例
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