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Bairstow法による求根

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要約

概要

Bairstow法は、1次元多項式に対して効率的に全ての解を求める求根アルゴリズム.二次式の解を求めて関数を割るのを低次の式になるまで繰り返す手法.数値的な性質はよくなく桁落ちしやすいとされる.
ー 条件 ー
  • 一変数一次元多項式f(x)が対象
ー 効果 ー
  • 一次元多項式のすべての解を得られる
ーポイントー
  • 数値的な性質はよくなく桁落ちしやすいとされる
  • 多項式f(x)を割り切れるような二次式の係数を繰り返し求めて全ての解を計算

解  説

Bairstow法は、1次元多項式に対して効率的に全ての解を求める求根アルゴリズム.二次式の解を求めて関数を割るのを低次の式になるまで繰り返す手法.数値的な性質はよくなく桁落ちしやすいとされる. 二次式の解を求める時にニュートン法を用いて解を算出する.
Bairstow法の概要
ニュートン法についてはリンクを参照
Bairstow法の手順 1. 多項式\(f(x)\)、適当な初期値\(u_0, v_0\)として二次式\(x^2+u_0x+v_0\)を用意 2. \(f(x)\)を\(x^2+ux+v\)で割った時の余り\(cx+d\)は\(u,v\)の関数になるため、これを $$c(u,v) = 0, d(u,v) = 0$$ の解を求める二変数のニュートン法と捉えることで、\(u,v\)を求める. 3. 上記の計算を\(f(x)\)の次数が二次以下になるまで繰り返す.
Bairstow法の詳細
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知識: ニュートン法による求根
求根アルゴリズムとして有名である頻繁に使用されるニュートン法(1次元の場合)について紹介します.ニュートン法によって関数の値がゼロになる値等を算出します.探索する初期値に依存し、解は一つしか見つけられませんが、比較的高速です.導関数が適切に得られる必要があります.