多変数関数の極大極小を判定したい

多変数関数の極大極小を判定する方法についてまとめます. ここで紹介するのは、ヘッセ行列による極大値極小値鞍点判定です.

ヘッセ行列に関する解説は右参照. 簡単にいえば、f(x_1,x_2,...x_n)をx_1,x_2....x_nで二階微分して行列にしたもの

極値は多変数関数$f$を一階微分してそれが0になるような入力$x$を求めると 停留点を得ることができます. $$\nabla f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$$ この停留点は以下のどれかです. ・極小値:局所的に最小になっている停留点 ・極大値:局所的に最小になっている停留点 ・鞍点 :極値にはなっていない点

多変数関数の場合をまとめます. ・極小値 : ヘッセ行列が正定値行列(すべての固有値が正) ・極大値 : ヘッセ行列が負定値行列(すべての固有値が負) ・鞍点 : ヘッセ行列の固有値が正または負の両方を含んでいる ・それ以外はなんとも言えない.

二変数の場合の特殊な場合をまとめます. ・極小値 : ヘッセ行列の行列式が正 且つ fのxまたはyによる二階微分が正 ・極大値 : ヘッセ行列の行列式が正 且つ fのxまたはyによる二階微分が負 ・鞍点 : ヘッセ行列の行列式が負 ・ヘッセ行列の行列式が0のときは、何も判定できない

$f(x_1, x_2)=(3x_1 + 2)(x_1-3)(x_2 +7)(2x_2-4)$のとき $$\begin{eqnarray} \nabla f(x_1, x_2) &=& \boldsymbol{0} \end{eqnarray}$$ より $$\begin{eqnarray} \frac{ \partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1} &=& (6x_1-7)(x_2+7)(2x_2-4)=0 \\ \frac{ \partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2} &=& (3x_1+2)(x_1-3)(4x_2+10)=0 \end{eqnarray}$$ から $$(x_1, x_2) = (\frac{7}{6}, -\frac{5}{2} ),(3, 2),(3,-7),(-\frac{2}{3}, 2),(-\frac{2}{3}, -7)$$ が停留点としてあげられる. ここで、二階微分したヘッセ行列を求めると $$H= \begin{pmatrix} 6(x_2+7)(2x_2-4) & (6x_1-7)(4x_2+10) \\ (6x_1-7)(4x_2+10) & 4(3x_1+2)(x_1-3) \end{pmatrix}$$ なので、例えば$x=(\frac{7}{6}, -\frac{5}{2})$ のときヘッセ行列は, $$H= \begin{pmatrix} -243 & 0 \\ 0 & -\frac{121}{3} \end{pmatrix}$$ となり、Hの行列式を求めると$det(H) = 9801 > 0$で$fxx=-243 < 0$なので$x=(\frac{7}{6}, -\frac{5}{2})$において、極大値とわかる.